Question

過拋物線y=x²的頂點O任作兩條互相垂直的弦OA、OB，若分別以OA、OB為直徑作圓，則兩圓的另一交點C的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出A，B坐標；利用向量垂直的充要條件得到A，B縱坐標的乘積是常數；寫出以OA，OB為直徑的圓；將A，B點的縱坐標看成一個方程的兩個根，利用韋達定理表示出A，B的縱坐標乘積；列出等式得到p的軌跡方程．

解答： 解：設A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由于OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
則x₁²x₂²+x₁x₂=0，即x₁•x₂=-1①
以OA為直徑的圓為x（x-x₁）+y（y-x₁²）=0，
以OB為直徑的圓為x（x-x₂）+y（y-x₂²）=0，
設P（x₀，y₀）為兩圓的交點，
所以x₁，x₂可以看做關于z的方程x₀（x₀-z）+y₀（y₀-z²）=0的兩個根，
即y₀z²+x₀z-（x₀²+y₀²）=0，
由韋達定理得x₁•x₂=-

x02+y02

y0

，
結合①得x₀²+y₀²=y₀，
所以P的軌跡方程是x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．
故答案為：x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．

點評：本題考查拋物線方程的運用，考查向量垂直的充要條件、以一線段為直徑的圓的方程、二次方程的根與系數的關系．