Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明（n∈N）。

 

Answer 1

答案：
解析：

∵1，a1，a2，a3…，an，2成等比數(shù)列， ∴， ∴， ∴， ∵1，b1，b2，b3，…，bn，2成等差數(shù)列， ∴， ∴。 所以，數(shù)列{An}的通項(xiàng)，數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)Bn=。 ∴。 要比較An與Bn的大小，只需比較與的大小， 也即比較當(dāng)n≥7時(shí)，2n與的大小。 當(dāng)n=7時(shí)，2，得知， 經(jīng)驗(yàn)證n=8，n=9時(shí)，均有命題成立。 猜想當(dāng)n≥7時(shí)有。用數(shù)學(xué)歸納法證明。 （1）當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證，命題成立。 （2）假設(shè)n=k(k≥7)時(shí)，命題成立，即：， 那么，又當(dāng)k≥7時(shí)，有， ∴。 這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。 根據(jù)（1）、（2），可知命題對(duì)于n≥7都成立。 故當(dāng)n≥7時(shí)，An>Bn。