Question

如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)均為4，M、N分別是BC、CC₁的中點(diǎn)．
（1）證明：MN⊥平面AMB；
（2）求三棱錐B₁-ABC的側(cè)面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）確定BN⊥B₁M，AM⊥BN，運(yùn)用判斷定理可以得出MN⊥平面AMB；
（2）計(jì)算△B₁BA，△B₁BC，△B₁AC的面積，可得出側(cè)面積．

解答： 證明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)均為4，M、N分別是BC、CC₁的中點(diǎn)．
∴BN⊥B₁M，
∵AM⊥面BB₁C₁C，BN?面BB₁C₁C
∴AM⊥BN，
∵AM∩B₁M=M，
∴MN⊥平面AMB；
解：（2設(shè)）△B₁BA，△B₁BC，△B₁AC的面積為：S₁，S₂，S₃，
∵S₁=

1

2

×4×4=8，S₂=

1

2

×4×4=8，S₃=

1

2

×4×

(4 2 )2-22

=4

7

，
∴三棱錐B₁-ABC的側(cè)面積=

1

2

×4×4+

1

2

×4×4+

1

2

×4×2

7

=16+4

7

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線(xiàn)，平面的垂直問(wèn)題，計(jì)算面積問(wèn)題，難度不大，注意計(jì)算準(zhǔn)確即可．