Question

設函數f（x）=e^x，g（x）=f（x）-ax²-bx-1，其中e為自然對數的底數．
（Ⅰ）已知x₁，x₂∈R，求證：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）；
（Ⅱ）函數h（x）是g（x）的導函數，求函數h（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過作差法化簡表達式，利用配方法推出差值大于等于0，即可．
（Ⅱ）求出函數的導數，通過h（x）=f'（x），利用新函數的導數h'（x）=e^x-2a，利用（1）當a≤

1

2

，h（x）在[0，1]上的單調性，推出h（x）≥1-e．（2）當a＞

e

2

時，推出h（x）≥-2a．（3）當

1

2

＜a≤

e

2

時，通過導數求解h（x）≥2a-2aln2a-e．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(ex1+ex2)-e

x1+x2

2

=

1

2

(ex1+ex2-2e

x1+x2

2

)=

1

2

(e

x1

2

-e

x2

2

)2≥0．
∴

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax²-bx-1=e^x-ax²-bx-1，h（x）=g'（x）=e^x-2ax-b，h'（x）=e^x-2a
（1）當a≤

1

2

時，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a≥0，h（x）在[0，1]上單調遞增，
所以h（x）≥h（0）=1-b．
（2）當a＞

e

2

時，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a＜0，h（x）在[0，1]上單調遞減，
所以h（x）≥h（1）=e-2a-b．
（3）當

1

2

＜a≤

e

2

時，h'（x）=e^x-2a=0得x=ln（2a）
h（x）在[0，ln2a]上單調遞減，在[ln2a，1]上單調遞增，
所以h（x）≥h（ln2a）=2a-2aln2a-b…（12分）

點評：本題考查函數的導數的應用，不等式的證明，函數的單調性已經函數的導數在閉區(qū)間上的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．