Question

11．如圖，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，AB=2，AD=1，E為BC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$的值為-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得到所求值．

解答 解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

∵AB=2，AD=1，E為BC中點(diǎn)，
∴A（0，0），B（2，0），D（0，1），
設(shè)C（x，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AC}$=（x，1），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，
∴2x=2，
解得x=1，
∴C（1，1），
∵E為BC中點(diǎn)，
∴E（$\frac{1+2}{2}$，$\frac{0+1}{2}$），即為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2，1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$×（-2）+$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{5}{2}$．
故答案為：-$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．