Question

【題目】已知圓:，直線： ．

（1）設(shè)點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形的面積的最小值；

（2）過作直線的垂線交圓于點(diǎn)， 為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，若是圓上異于的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足： ，試證明直線的斜率為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】試題分析：(1) 四邊形PAOB為兩個(gè)對(duì)稱的直角三角形構(gòu)成，其中OA與OB為圓的半徑，其值固定不變，故到當(dāng)PO最小值，四邊形PAOB的面積最小，即圓心到直線的距離最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出PO的長(zhǎng)，利用勾股定理求出此時(shí)AP的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式求出兩直角三角形的面積，即為四邊形PAOB面積的最小值．

(2) ， ，設(shè)直線的斜率為，則 斜率為，聯(lián)立消得： ，得，

同理，從而得到直線的斜率為定值．

試題解析：

（1）設(shè)四邊形的面積為， ，

，所以，當(dāng)最小時(shí)， 就最小，

，所以： ．

（2）直線的方程為： ，代入，且在第一象限，

得則．設(shè)， ，

證法1： ，

設(shè)直線的斜率為，則 斜率為，

， ，

聯(lián)立消得： ，

，得，

同理，

，

所以，直線的斜率為定值1．

證法2： ， 的弧長(zhǎng)等于的弧長(zhǎng)，則，

所以： ，

展開得： ，

因?yàn)?/span>在圓上，則滿足： ，

所以整理為： ，即： ，

故，為定值．