Question

【題目】設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點， 圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點、，求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

(1)由離心率為得b=c,再根據圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為得到點在橢圓上，解方程組即得橢圓的標準方程；（2）先證明當過點與圓相切的切線斜率不存在時，再證明當過點與圓相線的切線斜率存在時，即得證.

(1)設橢圓的半焦距為由橢圓的離心率為，

由題知，

橢圓的方程為

易求得，點在橢圓上，

，解得，

橢圓的方程為.

(2)當過點與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線的方程為，

由(1)知， ，，

，，

當過點與圓相線的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，

，即

聯立直線和橢圓的方程得，

，

得，

且，

綜上所述，圓上任意一點、 處的切線交橢圓于點，都有，