Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．

 

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）當(dāng)0<a<ln2時(shí)，最小值是－a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，最小值是ln2－2a.

【解析】①知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域；

②先研究f(x)在[1，2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值；

③由于解析式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論．

規(guī)范解答：【解析】
(1)f′(x)＝－a(x>0)．(1分)

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝－a≥0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)．(3分)

②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，得x＝，當(dāng)0<x< 時(shí)，f′(x)＝>0，當(dāng)x> 時(shí)，f′(x)＝<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(6分)

(2)①當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，

所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)

②當(dāng)≥2，即0<a≤時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，

所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)

③當(dāng)1< <2，即<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

又f(2)－f(1)＝ln2－a，

所以當(dāng)<a<ln2時(shí)，最小值是f(1)＝－a；

當(dāng)ln2≤a<1時(shí)，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)

綜上可知，當(dāng)0<a<ln2時(shí)，最小值是－a；

當(dāng)a≥ln2時(shí)，最小值是ln2－2a.(14分)