精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知函數(shù)f(x)=sin2π 4
x-3
sinπ 4
xcosπ 4
x
(1)求f(x)的最大值及此時(shí)x的值;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(2011)的值.
分析:(1)利用二倍角余弦公式將三角函數(shù)的平方降冪,利用公式asinx+bcosx=a2+b2
sin(x+θ)化簡(jiǎn)三角函數(shù),利用三角函數(shù)的有界性求出最值.
(2)利用周期公式求出函數(shù)的周期,求出要求式子共有的周期數(shù),求出一個(gè)周期內(nèi)包含的函數(shù)值的和,再求出所有函數(shù)值的和解答:解:(1)f(x)=1 2
-1 2
cosπ 2
x-3
2
sinπ 2
x=1 2
-sin(π 2
x+π 6
)
∴x=4k-4 3
(k∈z)時(shí),f(x)max=3 2
(2)函數(shù)的周期T=4,f(1)=1 2
-3
2
,f(2)=1 2
+1 2
,f(3)=1 2
+3
2
,f(4)=1 2
-1 2
,f(4k+1)=1 2
-3
2
,f(4k+2)=1 2
+1 2
,f(4k+3)=1 2
+3
2
,f(4k+4)=1 2
-1 2
f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)+f(4k+4)=2f(1)+f(2)++f(2011)=502×2+f(1)+f(2)+f(3)=1006點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的二倍角公式、公式asinx+bcosx=a2+b2
sin(x+θ)、三角函數(shù)的周期公式并利用周期求函數(shù)值的和.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-1 2
,則1 4
≤l≤1
③若l=1 2
,則-2
2
≤m≤0④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為②③④②③④.
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+a x
+b(x≠0),其中a,b∈R.若對(duì)于任意的a∈[1 2
,2],f(x)≤10在x∈[1 4
,1]上恒成立,則b的取值范圍為(-∞,7 4
](-∞,7 4
].
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ) 求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=3 x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn<2009 2010
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+π 6
)+2sin2x 2
.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c若f(A)=3 2
,△ABC的面積S=3
2
,a=3
,求b+c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=3
2
sinxcosx-3 2
sin2x+3 4
.
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(A)=0,a=3
,b=2,求△ABC的面積S.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=x2 1+x
.
(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤x2 1+x
;
(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M,若存在實(shí)數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個(gè)上界.已知e是無(wú)窮數(shù)列an=(1+1 n
)n+a所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)a的最大值.
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