如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．

(1)求證：OD∥平面PAB；

(2)時，求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值；

(3)當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

答案：略
解析：

(1)證明：∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD∥PA．

又∵PA平面PAB

∴OD∥平面PAB

(2)解：∵AB⊥BC，OA=OC，

∴OA=OA=OC

又∵OP⊥平面ABC，

∴PA=PB=PC．

取BC中點E，連結(jié)PE．則BC⊥平面POE．

作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，則OF⊥平面PBC．

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．又OD∥PA，

∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF．在Rt△ODF中，

．

(3)解由(2)知，OF⊥平面PBC，

∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影．

∵D是PC的中點，若點F是△PBC的重心，則B、F、D三點共線．

∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD．

∵OD⊥PC，∴PC⊥BD．

∴PB=BC，即k=1．

反之，當(dāng)k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實數(shù)a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　�。�

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一繩子從A點繞三棱錐側(cè)面一圈回到點A的最短距離是
3
，則PA=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時，求多面體ABCED與PAED的體積比．

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