Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），且a₁=0，
（Ⅰ）計(jì)算a₂、a₃、a₄，并推測(cè)a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你在（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題先根據(jù)題目中遞推關(guān)系式，由a₁=0，求出a₂、a₃、a₄，并推測(cè)a_n的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（ I） a₂=

1

2-a1

=

1

2

； a₃=

1

2-a2

=

2

3

； a₄=

1

2-a3

=

3

4

，
由此猜想a_n=

n+1

n

 （n∈N^*）；
（ II）證明：（數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0，結(jié)論成立，
②假設(shè)n=k（k≥1，且k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即a_k=

k-1

k

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

(k+1)-1

k+1

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
由①②知：對(duì)于任意的n∈N^*，a n=

n-1

n

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，通過(guò)猜想再證明的方法求數(shù)列的通項(xiàng)，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．