Question

設f（x）=

a•2x-1

1+2x

（a∈R）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）解不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質即可求f（x）的值域；
（3）結合函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系即可解不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a•2x-1

1+2x

（a∈R）為奇函數(shù)．
∴f（0）=

a-1

1+1

=0，
解得a=1；則f（x）=

2x-1

1+2x

（2）由y=

2x-1

1+2x

得（1+2^x）y=（2^x-1），
即（1-y）2^x=（1+y），
若y=1，則方程等價為0=2，不成立，
則y≠1，則2^x=

1+y

1-y

＞0，
解得-1＜y＜1，
即f（x）的值域為（-1，1）；
（3）∵f（4）=

24-1

24+1

=

15

17

．f（0）=0，
∴不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

等價為f（0）＜f（2x-1）＜f（4），
∵f（x）=

2x-1

1+2x

=

2x+1-2

1+2x

=1-

2

1+2x

，
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴不等式等價為0＜2x-1＜4，
解得

1

2

＜x＜

5

2

，
即不等式的解集為{x|

1

2

＜x＜

5

2

}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷和應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．