Question

已知函數(shù)f（x）=|log₂x|，當(dāng)0＜m＜n時(shí)，有f（n）=f（m）=2f（

m+n

2

）．
（1）求mn的值；
（2）求證：1＜（n-2）²＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，-log₂m=log₂n，化簡(jiǎn)可得 mn=1，
（2）先根據(jù)均值定理得

m

2

+

n

2

＞1，由題意(

m

2

+

n

2

)²=n，化簡(jiǎn)，再根據(jù)mn=1，得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=|log₂x|，當(dāng)0＜m＜n時(shí)，有f（n）=f（m），
∴-log₂m=log₂n，
∴l(xiāng)og₂mn=0，
∴mn=1，
（2）根據(jù)均值定理得

m

2

+

n

2

＞1，
∵f（n）=f（m）=2f（

m+n

2

）．
∴2f（

m+n

2

）=2log₂

m+n

2

=log₂(

m+n

2

)2=log₂n，
∴(

m

2

+

n

2

)²=n，
∴m²+n²+2mn=4n，
即 n²-4n=-m²-2，
∴（n-2）²＜2-m²，
∵0＜m＜1，
∴0＜m²＜1，
∴1＜2-m²＜2，
即1＜（n-2）²＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的證明，屬于中檔題．