Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁＝1，a₂＝a(a為常數(shù))，且b_n＝a_n·a_n+1　　其中n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)若{a_n}是等比數(shù)列，試求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n的公式；

(Ⅱ)當{b_n}是等比數(shù)列時，甲同學說：{a_n}一定是等比數(shù)列；乙同學說：{a_n}一定不是等比數(shù)列．你認為他們的說法是否正確？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因為{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a2＝a， ∴a≠0，an＝an－1． 又bn＝an·an+1　則b1＝a1·a2＝a， ＝a2 即{bn}是以a為首項，a2為公比的等比數(shù)列． ∴Sn＝ (Ⅱ)甲、乙兩個同學的說法都不正確．理由如下： 解法一：設{bn}的公比為q，則＝q且a≠0 又a1＝1，a2＝a， a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列， a2，a4，a6，…，a2n，…是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列． 即{an}為：1，a，q，aq，q2，aq2，… 當q＝a2時，{an}是等比數(shù)列； 當q≠a2時，{an}不是等比數(shù)列． 解法二：{an}可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列．舉例說明如下： 設{bn}的公比為q (1)取a＝q＝1時，an＝1(n∈N)，此時bn＝anan+1＝1，{an}、{bn}都是等比數(shù)列． (2)取a＝2，q＝1時，an＝．bn＝2，(n∈N)． 所以{bn}是等比數(shù)列，而{an}不是等比數(shù)列．