Question

已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若對(duì)任意的x，y∈R，等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立，則

y

x

的取值范圍是（　�。�

• A、[2-

  2

  3

  3

  ，2+

  2

  3

  3

  ]
• B、[1，2+

  2

  3

  3

  ]
• C、[2-

  2

  3

  3

  ，3]
• D、[1，3]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：由平移規(guī)律，可得y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等式可化為y-3=-

4x-x2-3

，平方即可得到y(tǒng)為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，再由直線的斜率公式，

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，通過(guò)圖象觀察，過(guò)O的直線OA，OB的斜率即為最值，求出它們即可．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=f（x-1）的圖象向左平移1個(gè)單位得到，
由于y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
則y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），
則等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立即為
f（y-3）=-f（

4x-x2-3

）=f（-

4x-x2-3

），
又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，則有y-3=-

4x-x2-3

，
兩邊平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-

4x-x2-3

為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，
則

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，
如圖，k_OA=

3-0

1-0

=3，取得最大，過(guò)O作切線OB，設(shè)OB：y=kx，
則由d=r得，

|2k-3|

1+k2

=1，解得，k=2±

2 3

3

，
由于切點(diǎn)在下半圓，則取k=2-

2 3

3

，即為最小值．
則

y

x

的取值范圍是[2-

2 3

3

，3]．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用，考查直線的斜率和直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．