Question

過橢圓（a＞b＞0）的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點A（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得（其中P為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，得F（-1，0），由此解得a²=2，b²=1，從而能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，知，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，由P為MN的中點，且|FP|=|MN|，知，（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，由此能導出滿足條件的直線存在，并能求出其方程．
解答：解：（Ⅰ）依題意，得F（-1，0），
∴，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線l存在，方程為y=k（x+2）（k必存在），
代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
∵P為MN的中點，且|FP|=|MN|，
∴FM⊥FN，
∴，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，
∴，，
滿足，
∴滿足條件的直線存在，其方程為．
即滿足條件的直線方程為x+2y+2=0或x-2y+2=0．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識橢圓的體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．