Question

已知函數f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x通過恒等變換轉化成：f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

）+2，
進一步求出最小正周期
（Ⅱ）先根據x∈[-

π

4

，

π

4

]，得2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]進一步求出函數的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x
=2sin（2x+

π

3

-

π

3

）-2cos2x+2=2

2

sin（2x-

π

4

）+2，
所以T=π
（Ⅱ）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，得2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]
當2x-

π

4

=-

π

2

，即x=-

π

8

時，函數有最小值2-2

2

當2x-

π

4

=

π

4

，即x=

π

4

時，函數有最大值4．
所以，f（x）∈[2-2

2

，4]

點評：本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的周期，根據定義域求正弦型函數的值域．