Question

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，向量

m

=（1，sin

C

2

+

3

cos

C

2

）與

n

=（cos

C

2

，

3 +2

2

）共線．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若D是BC邊上一點(diǎn)，AC=2

3

，AD=2，求鈍角△ACD的中線AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）通過(guò)向量平行，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求出角C的大��；
（Ⅱ）通過(guò)D是BC邊上一點(diǎn)，AC=2

3

，AD=2，利用正弦定理判斷∠ADC，通過(guò)余弦定理求鈍角△ACD的中線AE的長(zhǎng)度．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（1，sin

C

2

+

3

cos

C

2

）與

n

=（cos

C

2

，

3 +2

2

）共線，
∴

3 +2

2

=cos

C

2

(sin

C

2

+

3

cos

C

2

)=sin

C

2

cos

C

2

+

3

cos²

C

2

=

1

2

sinC+

3

2

cosC+

3

2

=sin（C+

π

3

）+

3

2

∴sin（C+

π

3

）=1，
∴C=

π

6

．
（Ⅱ）由正弦定理，

2 3

sin∠ADC

=

2

sin π 6

，
∴∠ADC=60°或120°，
∵△ACD是鈍角三角形，∴∠ADC=120°，∴CD=AD=2，∴CE=

1

2

CD=1，
由余弦定理：AE²=AC²+CE²-2AC•CEcosC，
∴AE2=12+1-4

3

•

3

2

=7，
∴AE=

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，向量的平行，考查計(jì)算能力．