Question

在棱長為2 的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 、F 分別為A₁D₁和CC₁的中點．    

(1) 求證：EF∥平面ACD₁ ；    
(2) 求異面直線EF 與AB 所成的角的余弦值；    
(3) 在棱BB₁上是否存在一點P ，使得二面角P-AC-B 的大小為30°。

Answer 1

解：如圖，分別以DA、DC、DD1所在的直線為z軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Dxyz，
由已知得D(O，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B，(2，2，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．
(1)證明：易知平面ACD₁的一個法向量=(2，2，2)．
=（-1，2，-1），
= -2+4-2=0．
，
而EF平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．
(2)∵=(0，2，0)，

∴異面直線EF與AB所成的角的余弦值為
(3)設點P(2，2，f)(0<t≤2)，平面ACP的一個法向量為n=（x，y，z），
則=（-2，2，0），=(0，2，t)，

取易知平面ABC的一個法向量=(0，0，2)，  
依題意知=30°或=150°．
即，
解得，
∴在棱B，上存在一點P，當BP的長為時，二面角P-AC-B的大小為30°．