Question

如圖，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P是底面ABCD上的動點，Q是線段DC上的動點，且四面體A₁B₁PQ的體積為

1

8

，則P的軌跡為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：探究型

分析：首先求出三角形A₁B₁Q的面積，把四面體A₁B₁PQ的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐P-A₁B₁Q的體積，由等積法求出P點到平面A₁B₁Q的距離，則可得到P點的軌跡．

解答： 解：如圖，

當(dāng)Q點在線段DC上運動時，Q到A₁B₁的距離即為兩平行線DC與A₁B₁的距離，
∵正方體的棱長為1，∴DC與A₁B₁的距離為

2

．
設(shè)Q到A₁B₁的距離為h，則h=

2

，
∴S△A1B1Q=

1

2

A1B1•h=

2

2

．
再設(shè)P到平面A₁B₁Q的距離為h′，
∴VA1-B1PQ=VP-A1B1Q=

1

3

S△A1B1Q•h′=

1

3

×

2

2

h′=

1

8

，
∴h′=

3 2

8

＞

1

2

．
∴P的軌跡為平面ABCD內(nèi)與平面A₁B₁Q平行，且距離為

3 2

8

的一條線段．
故選：A．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了棱錐的體積公式，訓(xùn)練了“等積法”，是中檔題．