Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）．設(shè)函數(shù)h（x）=af（x）-g （x），當a在區(qū)間[1，2]內(nèi)變化時，若函數(shù)y=h（x），x∈[0，3]有零點，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)根的存在性定理知 h（x）在[0，3]上的最大值與最小值要異號，從而找到m關(guān)于a的關(guān)系，得到m的最值．

解答： 解：∵由h（x）=a（e^x-2x）-x²-m，
∴可得h′（x）=a（e^x-2）-2x，
當x∈[0，ln2]時，e^x-2＜0，
∴x∈[0，ln2]時，y=h′（x）＜0，
故?a∈[1，2]，h（x）在x∈[0，ln2]為單調(diào)遞減函數(shù)，
故函數(shù)h（x）_max=h（0）=a-m；
當x∈[ln2，3]時，
∵e^x-2＞0，a∈[1，2]，
∴h′（x）的值在區(qū)間[（e^x-2）-2x，2（e^x-2）-2x]上變化，
此時，對于函數(shù) M（x）=2（e^x-2）-2x，存在x₀∈[ln2，3]，M（x）在x∈[ln2，x₀]單調(diào)遞減，在x∈[x₀，3]單調(diào)遞增，
∴h（x）在x∈[ln2，3]的最大值為h（3）=a（e³-6）-9-m，
∵a∈[1，2]，h（3）-h（0）=a（e³-7）-9＞0，
∴h（3）＞h（0），
因此h（x）的最大值是h（3）=a（e³-6）-9-m，
故當函數(shù)y=h（x）有零點時，a（e³-6）-9-m≥0
∵a∈[1，2]，m≤2（e³-6）-9，
∴實數(shù)m的最大值是m=2（e³-6）-9=2e³-21．

點評：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，以及利用導數(shù)討論函數(shù)的最值．本題的難點是二元函數(shù)的轉(zhuǎn)化問題，在二元函數(shù)轉(zhuǎn)化時要先固定一個變量．求解本題要熟練掌握導數(shù)求最值的方法．