Question

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．

（1）若對[1，+）內的一切實數(shù)x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）當a=l時，求最大的正整數(shù)k，使得對[e，3]（e=2．71828是自然對數(shù)的底數(shù)）內的任意k個實數(shù)x₁，x₂，，x_k都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的最大值為．

（3）當時，根據(jù)（1）的推導有，時，，即．令，得，化簡得，

。

【解析】

試題分析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有．     （*）

，．  （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．    2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．   

設，，

，當時，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．5分

因此，實數(shù)的取值范圍是．      6分

（2）當時，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對內的任意個實數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．                10分

（3）證明（法一）：當時，根據(jù)（1）的推導有，時，，

即．        11分

令，得，   

化簡得，        13分

．    14分

（法二）數(shù)學歸納法：當時，左邊=，右邊=，

根據(jù)（1）的推導有，時，，即．

令，得，即．

因此，時不等式成立．                    11分

（另解：，，，即．）

假設當時不等式成立，即，

則當時,，

要證時命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得           

．    

時命題也成立．              13分

根據(jù)數(shù)學歸納法，可得不等式對一切成立． 14分

考點：函數(shù)的性質；導數(shù)的幾何意義；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；數(shù)學歸納法。

點評：（1）本題主要考查導數(shù)的幾何意義及其應用和數(shù)學歸納法等綜合知識，考查學生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．對學生的能力要求較高，尤其是分析問題解決問題的能力。（2）解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。