Question

（本小題滿分12分）已知斜率為1的直線與雙曲線相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）。
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點坐標為（3，0），則以雙曲線的焦點為焦點，過直線上一點M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應在何處？并求出此時的橢圓方程。

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題設知：的方程為，代入的方程，并化簡得：
  (＊)…………………………2分
設，則， ……4分
由為的中點知，故
即.故，　　∴  驗證可知方程(＊)的△>0………6分
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點為、，點關于直線①
的對稱點的坐標為，直線的方程為②  ………8分
解方程組①②得：交點         ……………………………9分
此時最小，所求橢圓的長軸，
∴        …………………………………………………………11分
又， ∴，故所求橢圓的方程為  ………………12分

略