Question

定義域為R的函數f（x）=

lg|x-3|，  x≠3 3，           x=3

，若函數F（x）=f²（x）+bf（x）+c有且只有3個不同的零點x₁，x₂，x₃，則ln（x₁+x₂+x₃）的值為（　�。�

• A、6
• B、ln6
• C、2ln3
• D、3ln2

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,數形結合

分析：f（x）的圖象關于x=3對稱，方程f（x）=3有三個不同的解．利用換元的思想方法，關于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0只能有一個解，故只能有f（x）=3，圖象的對稱性，x₁+x₂+x₃=3×3=9，ln（x₁+x₂+x₃）=ln9=2ln3．

解答： 解：f（x）=

lg|x-3|，  x≠3 3，           x=3

的圖象關于x=3對稱，且直線y=3與y=f（x）圖象交于三個不同點，即方程f（x）=3有三個不同的解．
若函數F（x）=f²（x）+bf（x）+c有且只有3個不同的零點x₁，x₂，x₃，則關于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0只能有一個解，從而只能有f（x）=3，所以x₁，x₂，x₃，就是方程f（x）=3的解，根據圖象的對稱性，x₁+x₂+x₃=3×3=9，ln（x₁+x₂+x₃）=ln9=2ln3
故選：C

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及函數的圖象與方程之間的關系，利用數形結合，想到f（x）的圖象關于x=3對稱是解決本題的關鍵．