Question

已知M＞0，且對于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三條邊長，且lna，lnb，lnc也能成為三角形的三條邊長，那么M的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：解三角形

分析：不妨設c為直角三角形的斜邊，由題意可得a²+b²=c²，lna+lnb＞lnc．由lna+lnb＞lnc，可得c＜ab，利用基本不等式的性質可得2ab≤a²+b²=c²＜a²b²，當且僅當a=b時取等號，即可得出．

解答： 解：不妨設c為直角三角形的斜邊，
則a²+b²=c²，lna+lnb＞lnc，
由lna+lnb＞lnc，
可得c＜ab，
∴2ab≤a²+b²=c²＜a²b²，當且僅當a=b時取等號．
∴ab＞2，
∴a＞

2

或b＞

2

．
因此M的最小值為

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了勾股定理、三角形三邊大小關系、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．