Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，求△AKF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合已知比例關(guān)系，求△AKF的底邊長(zhǎng)和高，可得答案．

解答： 解：過B作BE垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為E，P為準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)，
由拋物線的定義，|BF|=|BE|，|AF|=|AK|=4，
∵|BC|=2|BF|，
∴|BC|=2|BE|，
∴∠KCA=30°，
故|AF|=|AK|=4，
F點(diǎn)到AK的距離d=4×cos30°=2

3

，
故△AKF的面積S=

1

2

×AK×d=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題．