Question

設△ABC的三個頂點都在半徑為3的球上，且AB=

3

，BC=1，AC=2，O為球心，則三棱錐O-ABC的體積為

 

．
．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意，△ABC為直角三角形，外接圓為平面ABC與球O相交被截得的小圓，該小圓的直徑等于AC長，而三棱錐O-ABC的高就是AC中點與球心的連線段，求出三棱錐O-ABC的高OD，用錐體體積公式得出三棱錐O-ABC的體積．

解答： 解：因為△ABC的三個頂點都在半徑為3的球上，且AB=

3

，BC=1，AC=2，∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC為直角三角形，
∴A，B，C在半徑為1的球小圓上
∴平面ABC截球O得小圓，該小圓半徑為r=AD=1，
設AC中點（即小圓圓心）為D，連接OD、OA、OB、OC
∵OD⊥平面ABC，即OD為三棱錐的高
∴Rt△OAD中，OD=

AO2-AD2

=

32-12

=2

2

，
因此，三棱錐O-ABC的體積為V=

1

3

×

1

2

×AB×BC×OD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2

2

=

6

3

；
故答案為：

6

3

點評：本題給出以球心為頂點直角三角形的三個頂點都在球面上的三棱錐，求該棱錐的體積，著重考查了球的截面圓性質和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．