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如圖，在球面上的四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積與體積．
答案：略
解析：

利用的截面積性質．求出球的半徑．

解：如圖，由PA⊥PB，可知P、A、確定一個平面，設它與球O的交線為⊙．由于PA⊥PB，所以AB為⊙的直徑，且

．

∵PC⊥PA，PC⊥PB，

∴PC⊥平面PAB．

又平面PAB，∴．

過、PC作平面α，平面α與球面的交線為大圓O，設⊙O與⊙的另一交點為D，則PD為平面α和平面PAB的交線，點．連結CD，在⊙O中，

∵，∠CPD為直角．

∴CD為⊙O的直徑．

設⊙O的半徑為R，也即球O的半徑為R，在Rt△CPD中，

．

即，，

∴．

．

根據條件作出球的截面圓是把空間問題轉化為平面問題的主要方法．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=2，且，OA、OB、OC兩兩垂直（每兩條都垂直）．
（1）求三棱錐O-ABC的體積；
（2）求三棱錐O-ABC的高（O點到平面ABC的距離）；
（3）求三棱錐O-ABC外接球的表面積（三棱錐O-ABC四個頂點都在球面上）．

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科目：高中數學 來源：2010年浙江省高二上學期期中考試理科數學卷 題型：解答題

(8分)如圖，四棱錐底面是正方形且四個頂點在球的同一個大圓(球面被過球心的平面截得的圓叫做大圓)上，點在球面上且面，且已知。

（1）求球的體積；

（2）設為中點，求異面直線與所成角的余弦值。

 

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（1）求球的體積；

（2）設為中點，求異面直線與所成角

的余弦值。

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