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已知
a
、
b
均為非零向量，當
a
+t
b
（t∈R）的模取最小值時，
①求t的值；
②已知
a
與
b
為不共線向量，求證
b
與
a
+t
b
垂直．
分析：（1）求出
a
+t
b
的平方，展開化簡，模取得最小值時，求出t的值．
（2）借助（1）直接求解（
a
+t
b
）•
b
的值，推出值為0，即可說明
b
與
a
+t
b
垂直．
解答：解：（1）（
a
+t
b
）2=|
a
|  2+t2|
b
|2+2t
a
•
b
=
a
2+t2
b
2+2t|
a
||
b
|cos＜
a
，
b
＞
=（t|
b
|+|
a
|cos＜
a
，
b
＞）2+|
a
|2（1-cos2＜
a
，
b
＞）
當t=
-|
a
|cos＜
a
，
b
＞
|
b
|
時．|
a
+t
b
|有最小值|
a
| 
1-cos2＜
a
，
b
＞ 
；
（2）
a
與
b
為不共線向量，由（1）可知此時，（
a
+t
b
）•
b
=
a
•
b
+[
-|
a
|cos＜
a
，
b
＞
|
b
|
]|
b
|2=
a
•
b
-
a
•
b
=0
即（
a
+t
b
）⊥
b
，夾角是90°．
點評：本題是中檔題，考查向量的數量積的應用，考查計算能力，注意模的最小值的求法，存在關系的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知以下五個命題:

①若a≠0,且a·b=0,則b=0;

②若a=0,則a·b=0;

③若a·b=a·c(其中a、b、c均為非零向量),則b=c;

④若a、b、c均為非零向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立;

⑤已知a、b、c均為非零向量,則｜a+b+c｜=｜a｜+｜b｜+｜c｜成立的充要條件是a、b與c同向.

其中正確命題的序號是______________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知以下五個命題：

①若則則b=0；

②若a=0，則=0；

③若，（其中a、b、c均為非零向量），則b=c；

④若a、b、c均為非零向量，（一定成立；

⑤已知a、b、c均為非零向量，則成立的充要條件是a、b與c同向其中正確命題的序號是_______________。

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