Question

（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，,,

平面,為的中點(diǎn)，.

（1）求證：∥平面;

（2）求四面體的體積.

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：1）法一： 取AD得中點(diǎn)M，連接EM,CM.則EM//PA

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406135898944353/SYS201506140614452255266195_DA/SYS201506140614452255266195_DA.002.png">

所以，EM∥平面PAB （2分）

在Rt△ACD中，

所以，

而,所以MC//AB （3分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406135898944353/SYS201506140614452255266195_DA/SYS201506140614452255266195_DA.007.png">

所以，平面PAB （4分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406135898944353/SYS201506140614452255266195_DA/SYS201506140614452255266195_DA.009.png">

所以，平面EMC∥平面PAB

因?yàn)镋C 平面EMC，∴EC∥平面PAB （6分）

法二： 延長(zhǎng)DC,AB,交于N點(diǎn)，連接PN.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406135898944353/SYS201506140614452255266195_DA/SYS201506140614452255266195_DA.012.png">

所以C為ND的中點(diǎn). （3分）

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406135898944353/SYS201506140614452255266195_DA/SYS201506140614452255266195_DA.013.png">

∴EC∥平面PAB （6分）

2）法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= .（7分）

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD （8分）

又因?yàn)镃D⊥AC，AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC ..（10分）

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E平面PAC的距離h=，

所以，四面體PACE的體積 （12分）

法二：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以 .（10分）

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以，四面體PACE的體積 ..（12分）

考點(diǎn)：本題考查線面平行的判定，求棱錐的體積