Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:,設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，.

（1）若直線，互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）（2）詳見解析（3）定值為36

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)橹本€，互相垂直，且和圓相切，這是一個(gè)較特殊的情況，此時(shí)，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得所以所求圓的方程為．（2）是一般情況，則從直線與圓相切關(guān)系出發(fā)，即利用圓心到切線距離等于半徑建立等量關(guān)系：因?yàn)橹本€： 與圓相切，所以,化簡(jiǎn)得，同理：滿足，所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，所以，即．（3）探求定值問題，可從斜率或點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)，利用斜率表示出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，進(jìn)行化簡(jiǎn)即得. 當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),由得，所以，同理，得，由，所以，當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有.

試題解析：（1）由圓的方程知，圓的半徑的半徑，

因?yàn)橹本€，互相垂直，且和圓相切，

所以，即，① 1分

又點(diǎn)在橢圓上，所以，② 2分

聯(lián)立①②，解得 3分

所以所求圓的方程為． 4分

（2）因?yàn)橹本€：，：，與圓相切，

所以,化簡(jiǎn)得 6分

同理， 7分

所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

8分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，

所以，即． 10分

（3）是定值，定值為36， 11分

理由如下：

法一：(i)當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

聯(lián)立解得 12分

所以，同理，得， 13分

由，

所以

15分

(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：． 16分

法二：(i)當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607310819128310_DA/SYS201503120607310819128310_DA.043.png">，所以,即， 12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607310819128310_DA/SYS201503120607310819128310_DA.028.png">在橢圓C上，所以，

即， 13分

所以，整理得，

所以，

所以． 15分

(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：． 16分

考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系