Question

在每年的“春運(yùn)”期間，某火車站經(jīng)統(tǒng)計(jì)每天的候車人數(shù)y（萬(wàn)人）與時(shí)間t（小時(shí)），近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=6sin（ωt+φ）+10，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24]，并且一天中候車人數(shù)最少是夜晚2點(diǎn)鐘，最多是在下午14點(diǎn)鐘．
（1）求函數(shù)關(guān)系式？
（2）當(dāng)候車人數(shù)達(dá)到13萬(wàn)人以上時(shí)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)，需要增加工作人員應(yīng)對(duì)．問(wèn)在一天中的什么時(shí)間段內(nèi)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用一天中候車人數(shù)最少是夜晚2點(diǎn)鐘，最多是在下午14點(diǎn)鐘，求出ω，φ，可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）問(wèn)題等價(jià)于，y=6sin(

π

12

t-

2π

3

)+10≥13，解不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意知

T

2

=12⇒T=24⇒T=

2π

ω

=24…（2分）
解得：ω=

π

12

即：y=6sin(

π

12

t+φ)+10，t∈[0，24]…（3分）
又∵當(dāng)t=2時(shí)，sin(

π

6

+φ)=-1，|φ|＜π
∴φ=-

2π

3

…（5分）
∴y=6sin(

π

12

t-

2π

3

)+10，t∈[0，24]…（6分）
（2）問(wèn)題等價(jià)于，y=6sin(

π

12

t-

2π

3

)+10≥13…（7分）
即sin(

π

12

t-

2π

3

)≥

1

2

…（9分）
∴

π

6

≤

π

12

t-

2π

3

≤

5π

6

⇒10≤t≤18…（11分）
答：一天中10--18點(diǎn)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．