Question

拋物線y²＝2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線上的
影依次為C、D、N．求證：
(1)A、O、D三點(diǎn)共線，B、O、C三點(diǎn)共線；
(2)FN⊥AB(F為拋物線的焦點(diǎn))

Answer 1

(1)設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、中點(diǎn)M(x₀，y₀)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(，0)．
由得ky²－2py－kp²＝0．
∴A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N，
∴C(－，y₁)、D(－，y₂)、N(－，y₀)．
∵，
由ky²－2py－kp²＝0
得y₁y₂＝＝－p²，
∴k_OA＝k_OD，∴A、O、D三點(diǎn)共線．同理可證B、O、C三點(diǎn)共線．
(2)k_FN＝，當(dāng)x₁＝x₂時(shí)，顯然FN⊥AB；當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，
k_AB＝
，∴k_FN·k_AB＝－1．∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立．

同答案