Question

已知數列{a_n}的前n項和s_n，點（n，s_n）（n∈N^*）在函數y=

1

2

x²+

1

2

x的圖象上
（1）求{a_n}的通項公式
（2）設數列{

1

anan+2

}的前n項和為T_n，不等式T_n＞

1

3

log_a（1-a）對任意的正整數恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）Sn=

1

2

n2+

1

2

n，再寫一式，即可求{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=n，利用裂項法可求

1

anan+2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），從而可求得T_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]，由T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，可判斷數列{T_n}單調遞增，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵(n，Sn)在函數f(x)=

1

2

x2+

1

2

x的圖象上，∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n①
當n≥2時，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)②
①-②得a_n=n
當n=1時，a1=S1=

1

2

+

1

2

=1，符合上式，
∴a_n=n；
（2）由（1）知a_n=n，則

1

anan+2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴T_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∵T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴數列{T_n}單調遞增，
∴（T_n）_min=T₁=

1

3

．
要使不等式T_n＞

1

3

log_a（1-a）對任意正整數n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

log_a（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．

點評：本題考查數列的通項與求和，著重考查等差關系的確定及數列{T_n}的單調性的分析，突出裂項法求和，突出轉化思想與綜合運算能力的考查，屬于難題．