Question

過單位圓x²+y²=1是位于第一象限的任意一點作圓的切線，則該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是 ________．

Answer 1

1
分析：設(shè)出切點得到切線方程，分別求出與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，表示出切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，然后利用基本不等式求出面積的最小值即可．
解答：設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），因為切線方程的斜率與過切點的半徑所在的直線垂直，過切點的半徑所在的直線的斜率為，則切線方程的斜率為-，所以切線方程為y-y₀=-（x-x₀），因為切點在圓上所以x₀²+y₀²=1，化簡得切線方程為x₀x+y₀y=1，
該切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別是，，
故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是，又x₀²+y₀²=1，
故=1，即切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是1．
故答案為1．
點評：此題是一道中檔題，要求會求曲線上過某點的切線方程，會利用基本不等式求函數(shù)的最值．出現(xiàn)問題最多的是許多學(xué)生寫不出切線方程，不會求字母已知數(shù)的方程，應(yīng)多加訓(xùn)練此類題形．