Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程
（2）設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根據(jù)切點(diǎn)為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（2）設(shè)切線過點(diǎn)（a，b），則存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證．

解答：解：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程為：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g'（t）變化情況如下表：

由g（t）的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時(shí)，方程g（t）=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a+b=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=0，t=

3a

2

，即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)b-f（a）=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=-

a

2

，t=a，即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則

a+b＞0 b-f(a)＜0.

即-a＜b＜f（a）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．