Question

艦A在艦B的正東6 km處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4 km處，它們圍捕海洋動(dòng)物.某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào).A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的,動(dòng)物信號(hào)的傳播速度是1 km/s,炮彈運(yùn)行的初速度是km/s，其中g為重力加速度.若不計(jì)空氣阻力與艦高，問(wèn)若以艦A所在地為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，求艦A發(fā)射炮彈的極坐標(biāo).

Answer 1

解析:先建立直角坐標(biāo)系,分析出點(diǎn)P在雙曲線上,又在線段BC的垂直平分線上,求出交點(diǎn)P的坐標(biāo),然后求出P、A兩點(diǎn)之間的距離和PA與x軸正向所成的角,即可確定點(diǎn)P的極坐標(biāo).

解:對(duì)艦B而言,A、C兩艦位置如圖所示.為方便起見(jiàn),取B所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則A、B、C三艦的坐標(biāo)分別為(3,0)、(-3,0)、(-5,2).?

由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào),記動(dòng)物所處位置為P,則|PB|=|PC|.?

于是P在BC的中垂線l上,易求得其方程為x-3y+7=0.?

又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P應(yīng)在雙曲線=1的右支上.?

直線l與雙曲線的交點(diǎn)P(8,5)即為動(dòng)物的位置,至此問(wèn)題便可獲解.?

據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式,得直線PA的傾斜角為60°.于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.利用兩點(diǎn)間的距離公式,可得|PA|=10.

所以,以艦A所在地為極點(diǎn),艦A發(fā)射炮彈的極坐標(biāo)為(10,).