Question

已知函數(shù)f（x）=2x+lnx．
（1）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的值域．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導數(shù)，注意函數(shù)的定義域，考慮導數(shù)的符號，即可得到；
（3）運用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2x+lnx的導數(shù)f′（x）=2+

1

x

（x＞0），
∴f′（1）=2+1=3，f（1）=2，即曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3，切點為（1，2），
所以該切線方程為y-2=3（x-1）即為y=3x-1；
（2）由于f′(x)=2+

1

x

(x＞0)，
又x＞0，故f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（3）由（2）知，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（e）=2e+1．
所以f（x）的值域為[2，2e+1]．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，以及最值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．