Question

設函數f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，下列五個命題：
①對于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，則m＜e；
②存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，則m＜e²-ln2；
③對于任意x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，則m＜e-ln2；
④對于任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，則m＜e．
⑤存在x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，則m＜e²．
其中正確命題的序號為

①②③④⑤

．（將你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對于①函數f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，設F（x）=f（x）-g（x），利用導數研究其單調性，從而得出對于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，則F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范圍；對于②③④⑤，可結合圖象法，將原問題轉化為函數的最大或最小值問題進行解決即可．

解答：解：函數f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，
∴f（x）-g（x）=e^x-（lnx+m），設F（x）=e^x-（lnx+m），
則F′（x）=e^x-

1

x

，當x∈[1，2]時，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函數，
①對于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，則F（x）＞0恒成立，
即F（1）＞0，e-（ln+m）＞0，∴m＜e，故正確；
②存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，

則f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，
∴e²＞ln2+m，則m＜e²-ln2．故正確；
③對于任意x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
則f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，
∴e＞ln2+m，則m＜e-ln2；故正確；
④對于任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
則f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，
∴e＞ln1+m，則m＜e；故正確；
⑤存在x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
則f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，
∴e²＞ln1+m，則m＜e²；故正確；
故答案為：①②③④⑤．

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性、極值、最值等問題，考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題．