Question

已知二次函數f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n?N^*．
（1）設函數y=f（x）圖象的頂點的坐標為（a_n，f（a_n）），求證數列{a_n}是等差數列；
（2）設函數y=f（x）圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構成數列{b_n}，求數列{b_n}的前n項和；
（3）在（1）的條件下，若數列{c_n}滿足cn=1+

1

4n- 25 2 +an

（n?N^*），求數列{c_n}中值最大的項和值最小的項．

Answer 1

分析：（1）先把二次函數配方，頂點的橫坐標就為所求數列{a_n}的通項，再按定義證明{a_n}是等差數列即可；
（2）數列{b_n}的通項即為數列{a_n}的通項的絕對值．再分情況求出數列{b_n}的前n項和；
（3）先利用（1）中求到的數列{a_n}的通項求出數列{c_n}的通項公式，再利用數列{c_n}的通項公式對應的函數的單調性來求數列{c_n}中值最大的項和值最小的項即可．

解答：（1）證明：由f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100變形可得f（x）=[x-（10-3n）]²-n．
∴頂點坐標為（10-3n，-n），依題意有a_n=10-3n，（n?N^*）
∴a_n+1-a_n=[10-3（n+1）]-（10-3n）=-3，∴數列{a_n}是以首項為7，公差為-3的等差數列．（4分）
（2）函數f（x）圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構成數列{b_n}，
∴b_n=|a_n|=|10-3n|=

10-3n?(n≤3，且n∈N*) 3n-10?(n≥4，且n∈N*)

由于數列{a_n}是一個等差數列，
當n≤3時，b_n=10-3n，∴Sn=

3n2+17n

2

當n≥4時，b_n=3n-10，b₄=2，d=3，
那么Sn=b1+b2+b3+

(n-3)[2+(3n-10)]

2

=

3n2-17n+48

2

所求數列的前n項和Sn=

-3n2+17n 2 ，??(n≤3且n∈N*) 3n2-17n+48 2 ．?(n≥4且n∈N*)

（8分）
（3）由（1）知，a_n=10-3n，∴cn=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

1

n- 5 2

∴函數g(x)=1+

1

x- 5 2

在區(qū)間(-∞，

5

2

)及(

5

2

，+∞)上分別為減函數，
∴1＞c₁＞c₂；c₃＞c₄＞c₅＞×××＞1
∴數列{c_n}中，值最大的項是c₃=3，值最小的項是c₂=-1．（13分）

點評：本題綜合考查了等差數列的證明，帶絕對值的數列的求和以及利用函數的單調性來研究數列中的最大最小項問題．是一道較難的題，涉及的知識面較多．