Question

已知f′（x）是f（x）的導函數(shù)，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+x+

6

x+1

的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）由f′(x)=

1

x+1

，得f′(1)=

1

2

，由-2=ln1+m-2×

1

2

，解得：m=-1，從而求出函數(shù)的表達式為：y=ln（x+1）-2，
（2）由g′(x)=

1

x+1

+1-

6

(x+1)2

=

(x+4)(x-1)

(x+1)2

，得函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），從而極小值是g（1）=2+ln2，無極大值．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x+1

，
∴f′(1)=

1

2

，
∵函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2），
∴-2=ln1+m-2×

1

2

，解得：m=-1，
∴函數(shù)的表達式為：y=ln（x+1）-2，
（2）函數(shù)g（x）的定義域為（-1，+∞），
∴g′(x)=

1

x+1

+1-

6

(x+1)2

=

(x+4)(x-1)

(x+1)2

，
∴當-1＜x＜1時，g'（x）＜0；當x＞1時，g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
∴極小值是g（1）=2+ln2，無極大值．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用．