Question

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且短軸的一個端點到左焦點F的距離是

2

，經過點F且不垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點．點O為坐標原點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）在線段OF上存在點M（m，0）（點M不與點O，F(xiàn)重合），使得以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用短軸的一個端點到左焦點點F的距離是

2

，離心率為

2

2

，可求橢圓幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，可得(

MA

+

MB

)•

AB

=0，從而可得m=

-k2

1+2k2

，由此可得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為短軸的一個端點到左焦點點F的距離是

2

，離心率為

2

2

，
所以a=

2

，c=1        
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標準方程是

x2

2

+y2=1                  …（4分）
（Ⅱ）因為直線l與x軸不垂直，且交橢圓C于A，B兩點，所以設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

因為以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，所以(

MA

+

MB

)•

AB

=0．
所以（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
因為x₁≠x₂，
所以（x₁+x₂-2m）+k²（x₂+x₁+2）=0．
所以（

-4k2

1+2k2

-2m）+k²（

-4k2

1+2k2

+2）=0．
所以m=

-k2

1+2k2

．
因為k≠0，所以-

1

2

＜m＜0．
所以m的取值范圍是-

1

2

＜m＜0．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．