Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁(-3,0),一條漸近線(xiàn)的方程是x-2y=0.

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程;

(2)若以k(k≠0)為斜率的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程、兩條直線(xiàn)垂直、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力.

解:(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為-=1(a＞0,b＞0).

由題設(shè)得.解得

所以雙曲線(xiàn)C的方程為-=1.

(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m(k≠0),

點(diǎn)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

將①式代入②式,得=1,

整理得(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,于是5-4k²≠0,且Δ=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)＞0.

整理得m²+5-4k²＞0.③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x₀,y₀)滿(mǎn)足

x₀=,y₀=kx₀+m=.

從而線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)的方程為y.

此直線(xiàn)與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,0),(0,).

由題設(shè)可得||·||=.

整理得m²=,k≠0.

將上式代入③式得+5-4k²＞0,

整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)＞0,k≠0.

解得0＜|k|＜或|k|＞.

所以k的取值范圍是(-∞,-)∪(,0)∪(0,)∪(,+∞).