函數(shù)f(x)=x3+
2x-12x+1
+3sinx+1
在區(qū)間[-t,t](t>0)上的最大值與最小值的和為
2
2
分析:令g(x)=f(x)-1,易判斷g(x)為奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得g(x)最大值與最小值的和,從而可得f(x)的最大值與最小值的和.
解答:解:令g(x)=f(x)-1=x3+
2x-1
2x+1
+3sinx,x∈[-t,t](t>0).
∵g(-x)=(-x)3+
2-x-1
2-x+1
+3sin(-x)

=-x3+
1-2x
1+2x
-3sinx
=-x3-
2x-1
2x+1
-3sinx

=-g(x).∴g(x)為奇函數(shù).
當(dāng)x∈[-t,t](t>0)時(shí),
設(shè)[g(x)]max=g(x0),即[f(x)-1]max=g(x0),∴f(x)max=g(x0)+1.
又g(x)為奇函數(shù),所以g(x)min=-g(x0),即[f(x)-1]min=-g(x0),∴f(x)min=1-g(x0).
∴f(x)max+f(x)min=g(x0)+1+1-g(x0)=2.
故答案為:2.
點(diǎn)評:本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù),充分利用函數(shù)性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)滿足0<f'(x)<1.”
(1)判斷函數(shù)f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素,并說明理由;
(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì):若f(x)的定義域?yàn)镈,則對于任意[m,n]30D,都存在-15P[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,試用這一性質(zhì)證明:方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
(3)設(shè)
1
5
是方程f(x)-x=0的實(shí)數(shù)根,求證:對于f(x)定義域中任意的x2,x3,當(dāng)|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1時(shí),|f(x3)-f(x2)|<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義:設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心;且‘拐點(diǎn)’就是對稱中心.”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件,函數(shù)f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
,則它的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
;計(jì)算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+
1
2
ax2+b

(1)若y=f(x)在x=1處的極值為
5
2
,求y=f(x)的解析式并確定其單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),若y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ,求當(dāng)0≤θ≤
π
4
時(shí)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•孝感模擬)命題p:方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一負(fù)根;
命題q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6
在R上有極值;
若命題“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判斷函數(shù)f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a>0,a≠1)
的奇偶性,并加以證明.

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同步練習(xí)冊答案