Question

函數(shù)f(x)=x3+

2x-1

2x+1

+3sinx+1在區(qū)間[-t，t]（t＞0）上的最大值與最小值的和為

2

．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-1，易判斷g（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）最大值與最小值的和，從而可得f（x）的最大值與最小值的和．

解答：解：令g（x）=f（x）-1=x3+

2x-1

2x+1

+3sinx，x∈[-t，t]（t＞0）．
∵g（-x）=(-x)3+

2-x-1

2-x+1

+3sin(-x)
=-x3+

1-2x

1+2x

-3sinx
=-x3-

2x-1

2x+1

-3sinx
=-g（x）．∴g（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)x∈[-t，t]（t＞0）時(shí)，
設(shè)[g（x）]_max=g（x₀），即[f（x）-1]_max=g（x₀），∴f（x）_max=g（x₀）+1．
又g（x）為奇函數(shù)，所以g（x）_min=-g（x₀），即[f（x）-1]_min=-g（x₀），∴f（x）_min=1-g（x₀）．
∴f（x）_max+f（x）_min=g（x₀）+1+1-g（x_0）=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，充分利用函數(shù)性質(zhì)．