Question

如圖，三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分別為BC、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求四棱錐S-ACOD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，由已知得AO⊥BC，SO⊥BC，SO⊥AO．由此能證明SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）由已知得DO⊥AD，DO=

1

2

AC=1．SO⊥平面ABC，由此能求出四棱錐S-ACOD的體積．

解答： （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，
連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA=

2

，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，
故SO⊥BC，且SO=

2

2

SA=

2

，
從而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵BO=CO，BD=AD，
∴AC∥DO，∴DO⊥AD，DO=

1

2

AC=1．
SACOD=

1

2

×(OD+AC)×AD=

1

2

×(1+2)×1=

3

2

，
由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，
∴VS-ACOD=

1

3

SACOD•SO=

1

3

×

3

2

×

2

=

2

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．