如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

(Ⅰ)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；

(Ⅱ)若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|－|FP|cos2a為定值，并求此定值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而

　　因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)．

　　又準(zhǔn)線方程的一般式為．

　　從而所求準(zhǔn)線l的方程為．

　　(Ⅱ)解法一：如圖(21)圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|＝|FC|，|FB|＝|BD|．

　　記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則

　　|FA|＝|AC|＝解得，

　　類(lèi)似地有，解得．

　　記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則

所以．

　　故．

　　解法二：設(shè)，，直線AB的斜率為，則直線方程為．

　　將此式代入，得，故．

　　記直線m與AB的交點(diǎn)為，則

　　，

　　，

　　故直線m的方程為．

　　令y＝0，得P的橫坐標(biāo)故

　　．

　　從而為定值．


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