Question

在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為800元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：

作物產(chǎn)量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5

作物市場(chǎng)價(jià)格（元/kg）	6	10
概率	0.2	0.8

（Ⅰ）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；
（Ⅱ）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）X的所有值為：500×10-800=4200，500×6-800=2200，300×10-800=2200，300×6-800=100，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分別求出3季中有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率和3季中利潤(rùn)不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”，
則P（A）=0.5，P（B）=0.2，
∵利潤(rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本，
∴X的所有值為：500×10-800=4200，500×6-800=2200，
300×10-800=2200，300×6-800=100，
則P（X=4200）=P（

.

A

）P（

.

B

）=（1-0.5）×（1-0.2）=0.4，
P（X=2200）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）=（1-0.5）×0.2+0.5（1-0.2）=0.5，
P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.2=0.1，
則X的分布列為：

X	4200	2200	1000
P	0.4	0.5	0.1

（Ⅱ）設(shè)C_i表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2000元”（i=1，2，3），
則C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，
由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=4200）+P（X=2200）=0.4+0.5=0.9（i=1，2，3），
3季的利潤(rùn)均不少于2000的概率為P（C₁C₂C₃）=P（C₁）P（C₂）P（C₃）=0.9³=0.729，
3季的利潤(rùn)有2季不少于2000的概率為P（

.

C1

C2C3）+P（C1

.

C2

C3）+P（C1C2

.

C3

）=3×0.9²×0.1=0.243，
綜上：這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率為：0.729+0.243=0.972．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．