Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中點，F(xiàn)是AC與BD的交點．
（1）求證：BD⊥A₁F；
（2）求直線BE與平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，由

BD

•

A1F

=0，利用向量法能證明BD⊥A₁F．
（2）求出平面A₁EF的法向量，設(shè)直線BE與平面A₁EF所成角為θ，由sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=

| BE • n |

| BE |•| n |

，利用向量法能求出直線BE與平面A₁EF所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
B（2，2，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），

BD

=（-2，-2，0），

A1F

=（-1，1，-2），
∴

BD

•

A1F

=2-2+0=0，
∴BD⊥A₁F．
（2）解：B（2，2，0），E（0，2，1），
A₁（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），

BE

=（-2，0，1），

A1E

=（-2，2，-1），

A1F

=（-1，1，-2），
設(shè)平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • A1E =-2x+2y-z=0 n • A1F =-x+y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），
設(shè)直線BE與平面A₁EF所成角為θ，
sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=

| BE • n |

| BE |•| n |

=

2

5 • 2

=

10

5

．

點評：本題考查線面平行，線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用，是中檔題．