Question

已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2

3

，且f（A）=1，求A和△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)及二倍角公式和和差公式，化簡(jiǎn)f（x）得sin（2x-

π

6

），（1）由周期公式，即可得到周期，（2）先用f（A）=1，求得A，再由余弦定理和基本不等式得到bc≤12，再由面積公式即可得到最大值．

解答： 解：∵

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），
∴f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2=

a

2+

a

•

b

-2=sin²x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

），
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期

2π

2

=π；
（2）由f（A）=1，得sin（2A-

π

6

）=1，即2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k為整數(shù)，
即A=kπ+

π

3

，由于0＜A＜π，則A=

π

3

，
由余弦定理得，12=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤12，
則△ABC面積S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×12×

3

2

=3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c取最大值3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和周期公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．