Question

已知數列{a_n}是各項均不為0的等差數列，公差為d，S_n為其前 n項和，且滿足

a

2n

=S2n-1，n∈N^*．數列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，T_n為數列{b_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n和數列{b_n}的前n項和T_n；
（2）若對任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求實數λ的取值范圍；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在

a

2n

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

        …（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1時，Sn=n2滿足

a

2n

=S2n-1，∴a_n=2n-1…（2分）
∵bn=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．   …（4分）
（2）①當n為偶數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．    …（5分）
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得．
∴此時λ 需滿足λ＜25．              …（6分）
②當n為奇數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．      …（7分）
∵2n-

8

n

是隨n的增大而增大，∴n=1時，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此時λ 需滿足λ＜-21．            …（8分）
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=

1

3

， Tm=

m

2m+1

， Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比數列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．                           …（10分）
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，即-2m²+4m+1＞0，
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．                 …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此時n=12…（12分）
因此，當且僅當m=2，n=12時，數列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比數列．…（13分）